Solution: (একজন ব্যক্তিকে ৪০৩ লিটার পেট্রোল, ৪৬৫ লিটার ডিজেল এবং ৪৯৬ লিটার মোবিল তেল সমান মাপের কয়েকটি বোতলে এমনভাবে ভরাতে হবে যেন একটি অপরটির সাথে মিশে না যায়। এভাবে প্রতিটি বোতল সম্পূর্ণরুপে পূর্ণ করা হলে সর্বনিম্ন কতটি বোতলের প্রয়োজন হবে?) [Aggarwal - 72] (সবথেকে কম বোতল ব্যবহার করতে চাইলে বোতলগুলোর ধারণক্ষমতা সবথেকে বেশি হতে হবে) For the least number of bottles, the capacity of each bottle must be maximum. Capacity of each bottle = H. C. F. of 403 litres 465 litres and 496 litres = 31 litres (প্রতি বোতলে সর্বোচ্চ ৩১ লিটার করে তরল রাখলে তা সমান মাপের হবে, এবং পূর্ণ সংখ্যায় রাখা যাবে, এবং সবথেকে কম বোতল লাগবে) (403+465+496)/31=44

Solution:(দুটি পাত্রের ধারণ ক্ষমতা যথাক্রমে ১২০ লিটার এবং ৫৬ লিটার। কত ধারণ ক্ষমতা সম্পন্ন কনটেইনার, পাত্র দুটিকে পূর্ণসংখ্যায় পরিমাপ করতে পারবে?) [Aggarwal - 70]Required capacity = H.C.F. of 120 litres and 56 litres = 8 litres = 8000 cc. [1 litre = 1000cc] 19. A daily wage labourer was engaged for a certain number of days for Tk. 5750, but being absent on some of those days he was paid only Tk. 5000. What was his maximum possible daily wage? (এক দিনমজুরকে একটি নির্দিষ্ট সময়ে একটি কাজ ৫,৭৫০ টাকায় করার জন্য নিয়োগ দেয়া হলো । কয়েকদিন অনুপস্থিত থাকায় সে ৫,০০০ টাকা পেল । তার দৈনিক সর্বোচ্চ মজুরি কত? ) [Aggarwal-71] (a) Tk. 125 (b) Tk. 250 (d) Tk. 500 Solution: Maximum possible daily wage = H.C.F. of 5750 and 5000 = 250 গ.সাগু করলেই উত্তর কিন্তু কেনো? তার যুক্তি: যত দিন ই কাজ করুক না কেনো, প্রতিদিন যে টাকা পাবে তা দিয়ে ৫৭৫০ কে ভাগ করা যেতে হবে । (কারণ প্রতিদিনের টাকা × মোট দিন = ৫৭৫০ টাকা হয়েছে) একইভাবে কাজের দিন কম হলে মোট টাকার পরিমাণ কমে ৫০০০ বা যতই হোক না কেনো আগের সেই প্রতিদিনের মজুরের টাকা দিয়ে এই ৫০০০ কে ও ভাগ করা যেতে হবে । অর্থৎ একই সংখ্যা দিয়ে ৫৭৫০ এবং ৫০০০ উভয়কে ভাগ করা যাবে যা শুধুমাত্র গ.সা.গু করলেই বের হবে। ভাগ করা যাবে এমন আরো অনেক সংখ্যা আছে। কিন্তু গ.সা.গু এর ২৫০ সংখ্যাটিই হচ্ছে সবথেকে বড় সংখ্যা বা সর্বোচ্চ মজুরি ।

Solution:(৭৮ সে.মি. ১০৪ সে.মি. ১১৭ সে.মি এবং ১৬৯ সে.মি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ৪টি রডকে সমান সমান করে কাঁটতে হবে । যদি প্রতিটি সমান রডের দৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ নেয়া হয় তাহলে সর্বোচ্চ কত টুকরা করা যাবে?) [Aggarwal-77] Maximum length of each part = H.C.F. of 78 cm, 104 cm, 117 cm, 169 cm = 13 cm. (অর্থাৎ গ.সা.গু নিলে যে দৈর্ঘ্য বের হবে, এই হারে ৪টি রডকে কাটতে থাকলে প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য সমান হবে)

Solution:(সর্বোচ্চ কত দৈর্ঘ্যের মাপকাঠি দিয়ে ৭মি, ৩মি. ৮৫ সে.মি.. ১২ মি. ৯৫ সে.মি. কে নিঃশেষে পরিমাপ করা যাবে?) Required length = H.C.F. of 700 cm, 385 cm and 1295 cm = 35 cm.

Solution::(কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৯৬৪, ১২৩৮ এবং ১৪০০ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪১, ৩১ এবং ৫১ H ভাগশেষ থাকে?)[Aggarwal-84] (ভিন্ন ভাগশেষ থাকলে এভাবে আগে ভাগশেষগুলো বাদ দিয়ে গ.সা.গু করতে হবে) Required number = H.C.F. of (964 - 41), (1238 - 31 ) and (1400 - 51) = H.C.F. of 923, 1207 and 1349 = 71

Solution:(সর্বোচ্চ কত দৈর্ঘ্যের একটি মাপকাঠি দিয়ে ৪মি. ৯৫ সে.মি., ৯ মি., এবং ১৬মি. ৬৫ সে.মি., কে নি:শেষে পরিমাপ করা যায়।) [Aggarwal-Exm-15](এদের গ.সা.গু কে দৈর্ঘ্য ধরলে তা দিয়ে ভাগ করতে গেলে কোন ভাগশেষ থাকবে না) Required length = H.C.F. of 495 cm, 900 cm and 1665 cm. [ Since 1m = 100 cm] 495 = 32 × 5 × 11. 900 = 22 x 32 x 52, 1665 = 32 x 5 × 37. H.C.F. = 32 x 5 = 45

Solution: (কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩০২৬ এবং ৫০৫৩ কে ভাগ করলে প্রতিবার যথাক্রমে ১১ এবং ১৩ ভাগশেষ থাকে?) [Aggarwal - 83] (ভিন্ন ভিন্ন ভাগশেষ আসলে তা মূল সংখ্যাগুলো থেকে বিয়োগ করে ঐ বিয়োগফল গুলোর গ.সা.গু ই উত্তর) s : Required number = H.C.F. of (3026 - 11 ) and (5053 - 13) = H.C. F. of 3015 and 5040 = 45. যুক্তি: ৩৫ সংখ্যাটি দিয়ে ৩০১৫ এবং ৫০৪০ কে ভাগ করলে কোন ভাগশেষ থাকবে না । কিন্তু এগুলোর সাথে যখন ১১ এবং ১৩ যোগ করা ছিল ৮। ছিল হল অর্থাৎ ৩০১৫+১১ = ৩০২৬ এবং ৫০৪০+১৩ = ৫০৫৩ ছিল তখন ভাগ করতে গেলে ১১ ও ১৩ বেশি হবে/ভাগশেষ থাকবে।

Solution:( একজন দুধ বিক্রেতার কাছে থাকা ৩টি বোতলে যথাক্রমে ৫৭ লি. ১২৯ লি, এবং ১৭৭ লি, খাঁটি দুধ আছে । একটি পাত্র/কৌটা দিয়ে ঐ ৩টি বোতলের দুধ আলাদাভাবে মাপার পর প্রতিটি বোতলে সমপরিমাণ দুর্ধ অবশিষ্ট থাকে, এক্ষেত্রে দুধ মাপার কৌটাটির আয়তন/ধারণক্ষমতা সর্বোচ্চ কত হবে?) [Aggarwal-81] (সরাসরি, শুধু সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু বের করলে কেন উত্তর হবে না তা বোঝার জন্য অর্থটি ভালোভাবে পড়ন) Required volume =H.C.F of (129- 57), (177 - 129) and (177 - 57) litres = H.C.F. of 72, 48 and 120 = 24 litres. Be careful: গ.সা.গু বের করলে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে ভাগ করতে গেলে আর কোন ভাগশেষ থাকবে না, কিন্তু যখন বলবে ভিন্ন ভিন্ন ভাগশেষ থাকবে. (এর পরের প্রশ্নটির মত) তখন ভাগশেষগুলোকে প্রদত্ত সংখ্যা থেকে প্রথমে বিয়োগ করে বিয়োগফলগুলোর গ.সা.গু বের করতে হবে। আবার যখন বলা হবে, কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে গেলে যে ভাগশেষ গুলো থাকবে প্রতিবার তা সমান সমান হবে। তখন এই নিয়মে আগে সব সংখ্যাগুলো ব্যবধান বের করে ঐ ব্যবধানগুলোর গ.সা.গু বের করতে হবে ।

Solution:(কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬২, ১৩২ এবং ২৩৭ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে একইভাগশেষ থাকে?)[Aggarwal - Exm-17] (এক্ষেত্রে দু\

Solution: (সর্বোচ্চ কত সংখ্যক ছাত্র-ছাত্রীর মধ্যে ১০০১টি কলম এবং ৯১০টি পেন্সিল এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া যায় যেন প্রত্যেক ছাত্র-ছাত্রী সমান সংখ্যক কলম ও পেন্সিল পায়?) [Aggarwal-73] Required number of students = H.C.F. of 1001 and 910 = 91.

Solution:(৫.২৫ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৩.৭৮ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কোর্টইয়ার্ড সমান আকৃতির বর্গাকার টাইলস দিয়ে আবৃত করা হয়। সর্বোচ্চ কত আকারের/ দৈর্ঘ্যের টাইলস এক্ষেত্রে ব্যবহৃত হতে পারে?)[Aggarwal-74] Largest size of the tile = H.C.F. of 378 cm and 525 cm = 21 cm. (এখানে ১ মি. = ১০০ সে.মি. ধরে দশমিক গুলো এমনিতেই পূর্ণ সংখ্যা হয়ে গেছে, তবে দশমিক ধরে করলেও একই উত্তর হতো)

Solution: (সবথেকে ছোট সংখ্যা দিয়ে মাঝারী সংখ্যাটি ভাগ করে, গ.সা.গু বের করার পর তা দিয়ে বড় সংখ্যাটির সাথে তুলনা করে আবার গ.সা.গু বের করা, এই নিয়মটাকে বলা হয় ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে গ.সা.গু বের করা )H.C.F. of 105 & 1001 is 7. Also, H.C.F. of 2436 &7 is 7. .H.C.F. of 105, 1001 and 2436 is 7

Solution: 204 = 22x 3 x 17; 1190 =2 x 5 x 7 x 17; 1445=5 x 17 x 17 .H.C.F. = 17

99 = 9 × 11 = 3^2×(11)\

Solution: 36 = 4x9= 2^2 x3^2, 84 = 4x21 = 2^2 x3x7. .H.C.F. = 2^2x 3 = 12.

Solution: Here, 132 = 2 x 2 x 3 x 11; 204 = 2 × 2 × 3 × 17; 228 = 2 × 2 × 3 × 19 H.C.F. of 132, 204 and 228 is 2 x2 x3 = 12

Since division by 0 is undefined, so 0 cannot be a factor of any natural number. Hence, H.C.F. of 0 and 6 is undefined.

Solution: 330 = 2×3×5×11